Satz von Cauchy (Geometrie)

Der Satz von Cauchy (auch Cauchy-Theorem, Cauchy`s Oberflächenformel) ist ein Resultat der Integralgeometrie, das auf den französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy zurückgeht und besagt, dass für jeden konvexen Körper der gemittelte Flächeninhalt seiner Parallelprojektionen in die Ebene stets ein Viertel seiner Oberfläche beträgt.

Anders formuliert: der Erwartungswert bei zufällig gewählter Projektionsrichtung für das Verhältnis zwischen dem Flächeninhalt der Projektion und dem Inhalt der Oberfläche des Ursprungskörpers beträgt $1/4$.

Der Satz wurde von Cauchy 1841 und 1850 für $n=2,3$ bewiesen und im allgemeinen Fall von T. Kubota, Hermann Minkowski und Tommy Bonnesen.

Beispiele

Für eine Kugel ist die Gültigkeit trivial zu zeigen: das Abbild einer Kugel vom Radius $r\,$ bei paralleler Projektion in die Ebene ist stets ein Kreis vom gleichen Radius. Damit ist der Flächeninhalt jedes Bildes $\pi r^{2}\,$ und damit genau ein Viertel der Kugeloberfläche $4\pi r^{2}\,$.

Die folgenden beiden Beispiele sollen lediglich den Sachverhalt verdeutlichen (die Werte in der rechten Spalte schwanken jeweils um den Wert $1/4$):

• Das Bild eines Würfels mit Kantenlänge $a$ ist je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:

Projektionsrichtung	Bild	Flächeninhalt des Bildes	Verhältnis zur Würfeloberfläche $6a^{2}\,$
parallel zu einer Kante	ein Quadrat mit Seitenlänge $a\,$	$a^{2}\,$	$1:6\,$
parallel zu einer Flächendiagonale	ein Rechteck mit Seitenlängen $a\,$ und $a{\sqrt {2}}$	$a^{2}{\sqrt {2}}$	$1:3{\sqrt {2}}\approx 1:4{,}2$
parallel zu einer Raumdiagonale	ein regelmäßiges Sechseck mit Seitenlänge ${\frac {a}{3}}{\sqrt {6}}$	$a^{2}{\sqrt {3}}$	$1:2{\sqrt {3}}\approx 1:3{,}5$
andere Richtungen	unregelmäßige (aber punktsymmetrische) Sechsecke	unterschiedlich	unterschiedlich

• Ebenso ist das Bild eines regelmäßigen Tetraeders mit Kantenlänge $a$ je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:

Projektionsrichtung	Bild	Flächeninhalt des Bildes	Verhältnis zur Tetraederoberfläche ${a^{2}}{\sqrt {3}}$
entlang einer Kante	ein gleichschenkeliges Dreieck mit Basis $a\,$ und Höhe ${\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}$	${\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {2}}$	$1:2{\sqrt {6}}\approx 1:4{,}90$
parallel zu einer Höhe	ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge $a\,$	${\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {3}}$	$1:4\,$
normal zu zwei windschiefen Kanten	ein Quadrat mit Seitenlänge ${\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}$	${\frac {a^{2}}{2}}$	$1:2{\sqrt {3}}\approx 1:3{,}46$
andere Richtungen	unregelmäßige Dreiecke oder Vierecke	unterschiedlich	unterschiedlich

Verallgemeinerung

Im Fall eines konvexen Körpers im $n$-dimensionalen euklidischen Raum ist der Faktor 4 durch ${\frac {nv_{n}}{v_{n-1}}}$ zu ersetzen, wenn $v_{n}$ das Volumen der $n$-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.

Siehe auch

• Dispersitätsanalyse